Distance minimale

1. Soit la fonction \(f\)  définie sur l’intervalle \([0~; +\infty[\)  par  \(f(x) = x^2 - 3x + 4\) .
Étudier les variations de \(f\)  sur \([0~;+\infty[\) .

2. Dans un repère orthonormé, on considère la courbe \(\mathcal{C}\)  représentant la fonction racine carrée et le point \(\text A(2~;~0)\) .

    a. Soit \(\text M(x~;y)\)  un point de \(\mathcal{C}\) . Exprimer \(y\)  en fonction de \(x\) .
    b. En déduire que \(\text A\text M^2 = x^2 -3x + 4\) .
    c. Déterminer les coordonnées du point de \(\mathcal{C}\)  le plus proche de \(\text A\) . Ce point est noté \(\text B\)  pour la suite.
    d. Un élève affirme que la tangente en \(\text B\)  à \(\mathcal{C}\)  est perpendiculaire au segment \([\text A\text B]\) . A-t-il raison ? Justifier.